Potências e potências

Olá, Pessoal!

Após dois dias sem postar nada no blog, retomo com uma questão simples do Nível 3 de Potências.
Notem, que pessoas que conhecem as propriedades de logaritmos, tentam aplicá-las nesse tipo de problema, embora exista uma solução mais simples que só necessita uma mera manipulação algébrica.

Problema 36. Potências e Potências - Se , qual é o valor de x?
(a) -2          (b)   -1          (c) 1           (d)   2         (e)  3

Resolução: 

1) Primeiro passo é transformar todos os termos para a base 2, e em seguida utilizar as propriedades de potenciação.

2)   Em seguida subtrai dos dois membros.


3) Põe em evidência o no primeiro membro, e em seguida obtêm-se:



4) Extrai a raíz quadrada dos dois membros, e obtemos a identidade , concluindo então que x = 3.

Manipulação Algébrica

Olá, Pessoal! Hoje dedico a vocês um problema da OBM - Nível 3, que vi na Revista Eureka na edição 34.

Problema 6 - Os números x e y são distintos e satisfazem . Então xy é igual a:

A) 4                       B)1                        C) -1                         D) -4

Resolução:

1) Como primeiro passo, devemos manipular ambos os membros para se obter um determinado formato em que seja possível observar alguma propriedade.


2) Segundo passo, é trocar de membros o inverso de x com o inverso de y, observe:


3) Terceiro passo é eliminar os denominadores e obter uma relação no seguinte formato:

4) Agora, elimina-se os xy, de ambos os membros e isolamos o x e o y em um único membro.


5) Põe em evidência o xy, no 1º membro e transforma y - x em - (x - y).


6) E finalmente, divide-se os dois membros por (x - y), e obtemos xy = - 1

Alternativa "c"

Essa percepção de que se deve operar com termos de membros distintos no início do problema que é bem interessante, e rápida.
Soluções diferentes, por favor comentar!

Desafio de Divisão

Desafio 4 - Divisão - Numa divisão, aumentando o dividendo de 1989 e o divisor de 13, o quociente e o resto não se alteram.

Apesar de ser um problema com título de Desafio, é relativamente simples de se achar a solução.

A estratégia usada no seguinte problema é mais uma vez, uma transformação algébrica do enunciado:

1) Observem que ele usa a expressão "não se alteram" para quociente e o resto, o que significa dizer que, a expressão antiga é equivalente a nova. Transformando para linguagem matemática:



2) No entanto, esse formato ainda não é suficiente, e portanto, irei utilizar o formato que envolva simultaneamente resto e quociente da divisão:



3) Substituindo (I) em (II), temos:
 
4) E finalmente, cancela-se os termos que são idênticos em ambos os membros (divisor e o resto), e obtém o valor final do quociente que é 153.

Bem simples. Gostaria de novas soluções e se possível compartilharem novos problemas pelo blog através dos comentarios.

O triângulo de moedas

Olá, pessoal! Retomando a questão proposta ontem, segue a resolução a seguir de mais um problema olímpico do banco de questões.

Observação:

 Uma interessante observação deve ser feita nesse problema em especial, pois, ele parece ser um bom exemplo prático das aplicações das ferramentas que se aprende em sala de aula.
Situações que muitas vezes podem se apresentar abstratas, podem ser bem ilustradas nesse problema. A contagem das linhas das moedas não precisa ser manual, o que permite utilizar o mesmo raciocínio em problemas semelhantes.

Resolução:

O primeiro passo é simplesmente determinar qual o número de moedas necessárias para os estágios iniciais. Observem:


Estabelecendo essa relação, agora é necessário perceber que se deve somar a quantidade de moedas dos estágios anteriores, já que, não se pode construir a 4ª linha sem as moedas que as antecedem.
Desse modo, devemos estabelecer uma nova relação entre o número de moedas necessárias para se chegar a cada estágio.
 
Faremos uma pequena manipulação algébrica em , para obtermos um polinômio reduzido, e usaremos a fórmula da soma de "n" termos de uma progressão aritmética. , onde M(n) representa o número de moedas necessárias, e n o estágio ou linha alcançada com as moedas.
Agora que estabelecemos uma relação entre moedas necessárias e o número de linhas, podemos determinar qual o número de linhas que o menino atingiu. O garoto usou 480 moedas e sobrou apenas 15.

Em linguagem matemática, esse enunciado seria transformado em:




O passo seguinte é resolver a equação que se segue. Essa equação possui as raízes 30 e -32.
No entanto, o valor negativo não nos interessa, pois, não se trabalha com quantidades negativas de linhas.
Portanto, o número de linhas que o menino alcançou foi 30.

Desafio de Divisibilidade

Olá, pessoal!

Tive uns problemas com a internet ontem, mas, as postagens voltaram ao normal. O problema que dedico hoje, é um problema de divisibilidade que possui um raciocínio bem interessante, porém, pouco usual na prática.
Um detalhe intrigante é que no livro que o encontrei, não existia uma solução comentada, e apresentava apenas a resposta no gabarito.
Esse mesmo problema pode ser encontrado no livro Banco de Questões 2010, página 111, problema de número 33.

 Desafio 33 - Um número que não é divisível por 5 - Determine quais números naturais n entre 2001 e 2007 tornam o número não divisível por 5.

Resolução: 

Essa questão se torna realmente complexa se não forem utilizadas algumas técnicas de aritmética. Basicamente, aparenta envolver apenas conhecimentos de Divisibilidade e Manipulação Algébrica. É óbvio que é completamente inviável recorrer à tentativa manual de substituição dos valores um a um. Portanto, é necessário dispor de algumas habilidades de congruências (Aritmética dos Restos).

Primeiro passo do problema é verificar se há um ciclo, ou seja, uma repetição na disposição dos algarismos das unidades, embora em outros problemas possa ser necessário verificar as dezenas, centenas, etc...

Analisando previamente a existência dos ciclos nos números , isoladamente, constata-se que em cada, há um ciclo de repetição nos algarismos das unidades de quatro em quatro termos, observe:



Como foram observados na tabela, os algarismos das unidades só voltam a se repetir quando n é um número pertencente a sequência de números naturais (1, 5, 9, 13, ... , 4n - 3)

Essa útima informação não é tão importante. A grande observação necessária para completar nossa solução é a seguinte: O que é preciso para que um número natural seja divisível por 5? Sem essa pergunta, a resolução fica comprometida. A resposta é simples: Terminar em 5, ou 0. Utilizando essa informação, vamos manipular os ciclos para obter pelo menos um desses critérios.

Recorrendo novamente a tabela, e incluindo o ciclo do 1, em um novo ciclo o , já que o ciclo do 1 é sempre o mesmo, temos:



Observe que os finais que precisávamos para garantir a divisibilidade, aparecem quando o n é múltiplo de 4. Essa última observação, também muito importante, finaliza nosso problema. O último passo, é verificar a divisibilidade por 4 dos números naturais entre 2001 e 2007, que possui apenas um número não divisível por 4, que é 2004.





É isso aí pessoal! Algum comentário, ou outra idéia que pensou enquanto via o problema, é só comentar.

Fica para amanhã a solução do seguinte problema:

Problema 115 - O triângulo de moedas - Um menino tentou alinhar 480 moedas em forma de um triângulo, com uma moeda na primeira linha, duas moedas na segunda linha. e assim por diante. Ao final da tentativa, sobraram 15 moedas. Quantas linhas tem esse triângulo?

Boa Tentativa a todos!

Uma Sequência Interessante

Olá Pessoal! Ao que me parece, esse é um problema do ano de 2008, que encontrei no meu livro "Banco de Questões - 2010" e que pode ser encontrado na seção de exercícios de Nível 3, Problema nº 166 - página 95.

Vejamos o enunciado do problema:

Uma Soma - Calcule o valor da soma






 
Resolução:

A primeira luz que tive ao olhar para esse problema, foi, perceber se existia alguma propriedade nos números que estavam escritos nos denominadores, e ver se podia manipulá-los. Pois bem, existe sim. Observem:

A primeira parcela da fração 1/2 pode ser repetidamente somada com suas parcelas consecutivas, como 1/6. ou 1/12.

Desse modo, podemos deduzir rapidamente que temos uma função soma, com o seguinte formato que poderá nos fornecer o valor final das adições da sequência.





Observem que, todos os resultados finais podem ser escritos de outra maneira, já que são números dentre o intervalo de 0 a 1. Ou seja:


O que facilitaria a idéia da diferença entre um inteiro e um número bem próximo de um inteiro.
O passo seguinte é apenas descobrir qual é essa diferença que corresponde a parcela final.
É simples, quem observou que há uma relação entre o número do denominador e o valor do domínio ou a posição da parcela que foi adicionada, logo percebeu que se o número do denominador da diferença de 1 é n, então o valor do domínio é n-1. Ou seja:



 (Resposta Correta)

Bom é isso, pessoal! Espero sempre estar atualizando este blog com mais problemas resolvidos e introduzir algumas curiosidades matemáticas, bem como outros tópicos de interesse, como biografia dos matemáticos, histórias polêmicas. A missão é tornar a matemática algo divertido, mas ao mesmo tempo uma ferramenta de pensamento. Beneficiem-se do poder do raciocínio!

Determinantes

Olá, Pessoal a questão de hoje é uma discursiva do Vestibular do ITA - 2012.


1) Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz  






é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A.

Resolução:

O problema se resume basicamente a dois objetivos:
 a) Obter os valores n
 b) A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A.


1) Como primeiro passo, iremos simplificar os termos da matriz A, aplicando as propriedades de logaritmos.
2) Uma vez aplicada, iremos obter a matriz seguinte:

3) O passo seguinte é efetuar o cálculo do determinante da matriz A, e em seguida igualar a 9, conforme foi dado na questão.Utilizando a Regra de Sarrus, que é bem prática para matrizes quadradas de ordem 3, iremos obter a equação quadrática a seguir:

Utilizando a então fórmula geral, teremos:


O objetivo a concluído. A segunda parte do problema é determinar a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A.

1) Para isso, primeiro teremos que determinar a matriz inversa de A.
Utilizando a propriedade da matriz inversa:

, onde A é a matriz quadrada de ordem 3 do problema, B é a matriz inversa de A, e I é a matriz identidade.

Como não há necessidade gerar a matriz com o outro valor de n, determinar a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa é nada menos do que obter o valor de x,y e , e substituir em: x+y+z.
2) Agora, é só resolver efetuar a multiplicação entre as matrizes e igualar a identidade:
Obtendo os valores
x = 1
y = -1
z = -1
Logo a soma vale: -1.