Desafio de Divisibilidade

Olá, pessoal!

Tive uns problemas com a internet ontem, mas, as postagens voltaram ao normal. O problema que dedico hoje, é um problema de divisibilidade que possui um raciocínio bem interessante, porém, pouco usual na prática.
Um detalhe intrigante é que no livro que o encontrei, não existia uma solução comentada, e apresentava apenas a resposta no gabarito.
Esse mesmo problema pode ser encontrado no livro Banco de Questões 2010, página 111, problema de número 33.

 Desafio 33 - Um número que não é divisível por 5 - Determine quais números naturais n entre 2001 e 2007 tornam o número não divisível por 5.

Resolução: 

Essa questão se torna realmente complexa se não forem utilizadas algumas técnicas de aritmética. Basicamente, aparenta envolver apenas conhecimentos de Divisibilidade e Manipulação Algébrica. É óbvio que é completamente inviável recorrer à tentativa manual de substituição dos valores um a um. Portanto, é necessário dispor de algumas habilidades de congruências (Aritmética dos Restos).

Primeiro passo do problema é verificar se há um ciclo, ou seja, uma repetição na disposição dos algarismos das unidades, embora em outros problemas possa ser necessário verificar as dezenas, centenas, etc...

Analisando previamente a existência dos ciclos nos números , isoladamente, constata-se que em cada, há um ciclo de repetição nos algarismos das unidades de quatro em quatro termos, observe:



Como foram observados na tabela, os algarismos das unidades só voltam a se repetir quando n é um número pertencente a sequência de números naturais (1, 5, 9, 13, ... , 4n - 3)

Essa útima informação não é tão importante. A grande observação necessária para completar nossa solução é a seguinte: O que é preciso para que um número natural seja divisível por 5? Sem essa pergunta, a resolução fica comprometida. A resposta é simples: Terminar em 5, ou 0. Utilizando essa informação, vamos manipular os ciclos para obter pelo menos um desses critérios.

Recorrendo novamente a tabela, e incluindo o ciclo do 1, em um novo ciclo o , já que o ciclo do 1 é sempre o mesmo, temos:



Observe que os finais que precisávamos para garantir a divisibilidade, aparecem quando o n é múltiplo de 4. Essa última observação, também muito importante, finaliza nosso problema. O último passo, é verificar a divisibilidade por 4 dos números naturais entre 2001 e 2007, que possui apenas um número não divisível por 4, que é 2004.





É isso aí pessoal! Algum comentário, ou outra idéia que pensou enquanto via o problema, é só comentar.

Fica para amanhã a solução do seguinte problema:

Problema 115 - O triângulo de moedas - Um menino tentou alinhar 480 moedas em forma de um triângulo, com uma moeda na primeira linha, duas moedas na segunda linha. e assim por diante. Ao final da tentativa, sobraram 15 moedas. Quantas linhas tem esse triângulo?

Boa Tentativa a todos!