O triângulo de moedas

Olá, pessoal! Retomando a questão proposta ontem, segue a resolução a seguir de mais um problema olímpico do banco de questões.

Observação:

 Uma interessante observação deve ser feita nesse problema em especial, pois, ele parece ser um bom exemplo prático das aplicações das ferramentas que se aprende em sala de aula.
Situações que muitas vezes podem se apresentar abstratas, podem ser bem ilustradas nesse problema. A contagem das linhas das moedas não precisa ser manual, o que permite utilizar o mesmo raciocínio em problemas semelhantes.

Resolução:

O primeiro passo é simplesmente determinar qual o número de moedas necessárias para os estágios iniciais. Observem:


Estabelecendo essa relação, agora é necessário perceber que se deve somar a quantidade de moedas dos estágios anteriores, já que, não se pode construir a 4ª linha sem as moedas que as antecedem.
Desse modo, devemos estabelecer uma nova relação entre o número de moedas necessárias para se chegar a cada estágio.
 
Faremos uma pequena manipulação algébrica em , para obtermos um polinômio reduzido, e usaremos a fórmula da soma de "n" termos de uma progressão aritmética. , onde M(n) representa o número de moedas necessárias, e n o estágio ou linha alcançada com as moedas.
Agora que estabelecemos uma relação entre moedas necessárias e o número de linhas, podemos determinar qual o número de linhas que o menino atingiu. O garoto usou 480 moedas e sobrou apenas 15.

Em linguagem matemática, esse enunciado seria transformado em:




O passo seguinte é resolver a equação que se segue. Essa equação possui as raízes 30 e -32.
No entanto, o valor negativo não nos interessa, pois, não se trabalha com quantidades negativas de linhas.
Portanto, o número de linhas que o menino alcançou foi 30.