Uma Sequência Interessante

Olá Pessoal! Ao que me parece, esse é um problema do ano de 2008, que encontrei no meu livro "Banco de Questões - 2010" e que pode ser encontrado na seção de exercícios de Nível 3, Problema nº 166 - página 95.

Vejamos o enunciado do problema:

Uma Soma - Calcule o valor da soma






 
Resolução:

A primeira luz que tive ao olhar para esse problema, foi, perceber se existia alguma propriedade nos números que estavam escritos nos denominadores, e ver se podia manipulá-los. Pois bem, existe sim. Observem:

A primeira parcela da fração 1/2 pode ser repetidamente somada com suas parcelas consecutivas, como 1/6. ou 1/12.

Desse modo, podemos deduzir rapidamente que temos uma função soma, com o seguinte formato que poderá nos fornecer o valor final das adições da sequência.





Observem que, todos os resultados finais podem ser escritos de outra maneira, já que são números dentre o intervalo de 0 a 1. Ou seja:


O que facilitaria a idéia da diferença entre um inteiro e um número bem próximo de um inteiro.
O passo seguinte é apenas descobrir qual é essa diferença que corresponde a parcela final.
É simples, quem observou que há uma relação entre o número do denominador e o valor do domínio ou a posição da parcela que foi adicionada, logo percebeu que se o número do denominador da diferença de 1 é n, então o valor do domínio é n-1. Ou seja:



 (Resposta Correta)

Bom é isso, pessoal! Espero sempre estar atualizando este blog com mais problemas resolvidos e introduzir algumas curiosidades matemáticas, bem como outros tópicos de interesse, como biografia dos matemáticos, histórias polêmicas. A missão é tornar a matemática algo divertido, mas ao mesmo tempo uma ferramenta de pensamento. Beneficiem-se do poder do raciocínio!