Determinantes

Olá, Pessoal a questão de hoje é uma discursiva do Vestibular do ITA - 2012.


1) Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz  






é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A.

Resolução:

O problema se resume basicamente a dois objetivos:
 a) Obter os valores n
 b) A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A.


1) Como primeiro passo, iremos simplificar os termos da matriz A, aplicando as propriedades de logaritmos.
2) Uma vez aplicada, iremos obter a matriz seguinte:

3) O passo seguinte é efetuar o cálculo do determinante da matriz A, e em seguida igualar a 9, conforme foi dado na questão.Utilizando a Regra de Sarrus, que é bem prática para matrizes quadradas de ordem 3, iremos obter a equação quadrática a seguir:

Utilizando a então fórmula geral, teremos:


O objetivo a concluído. A segunda parte do problema é determinar a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A.

1) Para isso, primeiro teremos que determinar a matriz inversa de A.
Utilizando a propriedade da matriz inversa:

, onde A é a matriz quadrada de ordem 3 do problema, B é a matriz inversa de A, e I é a matriz identidade.

Como não há necessidade gerar a matriz com o outro valor de n, determinar a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa é nada menos do que obter o valor de x,y e , e substituir em: x+y+z.
2) Agora, é só resolver efetuar a multiplicação entre as matrizes e igualar a identidade:
Obtendo os valores
x = 1
y = -1
z = -1
Logo a soma vale: -1.